Le calcul mental

Le constat

Un constat simple et partagé (voir nombreuses discussions sur le forum mathlyc) : les élèves de lycée ont du mal avec les calculs mentaux simples. Exemples de calculs très difficiles pour les lycées : \dfrac{4}{2}, 0,3\times0,01, 9\times8

Les raisons possibles :

  • Un manque d’entraînement de la mémoire immédiate. La dispersion due aux technologies qui hachent la pensée (textos, facebook, tchat…) peut avoir son rôle.
  • L’omniprésence des calculatrices au collège et au lycée.
  • Plus aucune représentation des chiffres et des nombres ; à ce propos Rémi Brissaud, spécialiste en psychologie cognitive et auteur de manuels de mathématiques pour le primaire, explique dans un article détaillé sur le café pédagogique pourquoi l’emploi (préconisé par des réformes…) systématique d’une frise de nombre favorise une approche bête de la numération au détriment de l’enrichissement des représentations d’un nombre (exemple, 10, c’est deux mains, c’est 7+3, c’est un dé avec 6 et un dé avec 4, c’est le mot dix, c’est le symbole 10, c’est les yeux de cinq chats, c’est les pattes de deux moutons et d’un berger, etc).

Dans mes cours, j’utilise le calcul mental sous plusieurs formes :

  • entraînement spécifique au calcul mental (exercices chronométrés, mini-contrôles, jeux…) ;
  • ou au détour d’exercices menant à des petits calculs.

De même, j’utilise le calcul mental dans plusieurs registres, décrits ci-dessous.

Le calcul mental, selon mon expérience, diminue le risque d’erreurs de calcul (il aère les écrits), favorise la concentration (on ne peut pas le faire machinalement !), augmente la mémoire immédiate (décisif pour réussir dans les raisonnements à plusieurs étapes), donne confiance (oui, tu peux apprivoiser cette une masse informe de lettres et de chiffres !).

Le calcul numérique

Je rappelle à mes élèves les règles suivantes de calcul élémentaire, et j’insiste pour qu’elles soient connues :

  • division/multiplication par 4 (par 2, puis encore par 2), par 5 (avec 5=10/2), par 2,5 (avec 2,5=10/4)…
  • inverses connus :
    1/2=0,5 1/3=0,33.. 1/4=0,25 1/5=0,2
    1/9=0,11.. 1/10=0,1
  • racines carrées de 2 et 3 : \sqrt{2}=1,414..\sqrt{3}=1,732.. ;
  • constantes incontournables : \mathrm{e}=2,7.., \ln(2)=0,69.., \Phi=0,618.. ;
  • les lignes trigo : \sqrt{2}/2=0,70.., \sqrt{3}/2=0,87.. ;

Avec tout ça, les exercices possibles peuvent consister à donner une valeur approchée de :

a=√200, b=1/15, c=Re(3\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/3}),
d=e/2, e=ln(\sqrt{2}),…

Le calcul algébrique

  • factorisations simples ; exemple : factoriser directement par 2y^2 dans $latex (2xy)^2-(y\sqrt{2})^2 ;
  • simplification de fraction ; exemple : simplifier par 2 dans \dfrac{(2x)^2+2y^2}{8}) ;
  • simplification sous la racine ; exemple : simplifier \dfrac{\sqrt{(3x)^3-72}}{3} ;
  • identités remarquables ; exemple : développer (x-1/x)^2 ;
  • etc.

Le calcul analytique

  • dérivées ; exemple : dérivée de \dfrac{1}{\sqrt{x}} avec (1/u)' puis avec les exposants fractionnaires ;
  • limites ; exemple : limites de \dfrac{\mathrm{e}^{3x}}{1-\mathrm{e}^x} en -\infty, 0, +\infty ;
  • etc.

Exemple

Cette page tirée du Bordas Indice 2012 me paraît un excellent entraînement au calcul mental :

tout - copie

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